Рефераты по точным наукам




Поиск документов на сайте

 

Отображения в пространстве R(p 1 ,p 2 )

§1. Пространство R(p 1 ,p 2 ).

А 1 - аффинная прямая. Отнесем прямую А 1 к подвижному реперу r = {a, ` e}, где а и ` e соответственно точка и вектор.

Деривационные формулы репера r имеют вид:

d a= q ` e , d ` e= W ` e (1),

причем формы Пфаффа q и W подчиняются уравнениям структуры 1-мерного аффинного пространства :

D q = q Ù W , DW=W Ù W=0.

Пусть e* - относительная длина вектора e* = ` e + d ` e + 1/2d 2 ` e + 1/6d 3 ` e +... по отношению к вектору ` е. Тогда ` e* =e* ` e. Из (1) получаем :e* =1+W+... Таким образом, форма Пфаффа W является дифференциалом относительной длины вектора ` e* , близкого к ` e , по отношению к ` e.

Пусть R(p 1 ,p 2 ) – пространство всех пар (p 1 ,p 2 ) точек p 1 ,p 2 прямой А 1. Поместим начало а репера r в середину Q отрезка р 1 р 2 , а конец вектора ` е – в точку р 1 ; при этом р 2 совместится с концом вектора - ` е.

Условия стационарности точек р 1 и р 2 в таком репере имеют соответственно вид: W+ q =0, -W+ q =0.

Таким образом , в репере r структурными формами пространства R(р 1 2 ) являются формы Пфаффа : W+ q , -W+ q .

Очевидно, что dim R(p 1 ,p 2 ) =2. Заметим ,что в репере r форма 2 W является дифференциалом относительной длины отрезка р 1 2 * , близкого к р 1 р 2 ,по отношению к р 1 р 2 .

§ 2. Отображение f.

А 2 – аффинная плоскость , отнесенная к подвижному реперу R ={ p, ` e j }. Деривационные формулы репера R и уравнения структуры плоскости А 2 имеют соответственно вид : dp = W j e j ; d ` e j = W j k ;

DW j = W k ^ W k j ; DW j = W j y ^ W y k .

Рассмотрим локальное дифференцируемое отображение f плоскости А 2 в пространстве R(p 1 ,p 2 ):f:A 2 ® R(p 1 ,p 2 ).

Будем считать , что в каждой точке области определения отображения f выполняется : rang f =2 (1)

Поместим начало Р репера R в точку f -1 (p 1 ,p 2 ) . Тогда дифференциальные уравнения отображения f запишутся в виде :

Q + W= l j W j ; Q-W= m j W j (2)

Из (1) вытекает , что существует локальное дифференцируемое отображение f -1 : R(p 1 ,p 2 ) ® A 2 обратное к f .В указанных реперах дифференциальные уравнения отображения f -1 имеют вид :

W j = l j (Q+W)+ m j (Q-W) (3)

Из (2) и (3) получаем :

l k l j + m k m j = d j k

l j l j =1

m j m j =1 (*)

l j m j =0

m j l j =0

Указанную пару { r;R } реперов пространств А 1 и А 2 будем называть репером нулевого порядка отображения f .

§3.Фундаментальные геометрические объекты отображения f.

Осуществим продолжение системы (2) дифференциального уравнений отображения f.

D(λ j W j -W-Q)=0 ,

получаем :

j k W j k +1\4(λ j μ k k μ j )W k jk W k

D(μ j W j +W-Q)=0

получаем :

j k W j k +1\4(λ j μ k k μ j )W k jk W k

Итак, продолженная система дифференциальных уравнений отображения f имеет вид:

Q+W=λ j W j

Q-W=μ j W j

j k W j k +1\4(λ j μ k k μ j )W k jk W k

j k W j k +1\4(λ j μ k k μ j )W k jk W j

Из этих уравнений вытекает, что система величин Г 1 = j j } является геометрическим объектом. Он называется фундаментальным геометрическим объектом первого порядка отображения f. Осуществим второе продолжение системы (2) :

k ^W j k k dW j k +1\4(λjμ k k μ j )^W k +1\4(λ j μ k k μ j )dW k +dλ jk ^W k jk dW k =0 .

получим:

(dλ jt kt W j k jk W t k +1\4(λ k μ jt k λ jk )W k +1\16λ t μ k j j )W k )^W t =0

k ^W j k k dW j k +1\4d(λ j μ k k μ j )^W k +1\4(λ j μ k k μ j )dW k +dμ jk ^W k jk dW k =0

получим:

(dμ jt kt W j k jt W t k +1\4(λ k μ jt k λ jt )W k +1\16λ t μ k j j )W k )^W t =0

обозначим:

λ j =dλ j t W j t

μ j =dμ j t W j t

λ jk =dλ jk tk W k t jt W k t

μ jk =dμ tk W j t jt W k t

Тогда дважды продолженная система дифференциальных уравнений отображения f примет вид:

Q+W=λ j W j

Q-W=μ j W j

j k W j k +1\4(λ j μ k k μ j )W k jk W k

j k W j k +1\4(λ j μ k k μ j )W k jk W k (4)

λ jk =(1\4(μ α λ jk α μ jk )+1\16λ k μ α j j )+λ jkα )W α

μ jk =(1\4(μ α λ jk α μ jk )+1\16λ k μ α j j )+μ jkα )W α

Из уравнений (4) вытекает, что система величин Г 2 = j j jk jk } образует геометрический объект. Он называется фундаментальным геометрическим объектом второго порядка отображения f. Дальнейшее продолжение системы (2) приведет к фундаментальному геометрическому объекту Г Р порядка р :

Г Р = j j j1j2 j1j2 ,...,λ j1j2...jp j1j2...jp }.

§ 4. Векторы и ковекторы первого порядка.

Из системы дифференциальных уравнений (5) вытекает, что система величин j },{μ j } образует подобъекты геометрического объекта Г 1 . Будем называть их основными ковекторами 1-го порядка. Основные ковекторы определяют для каждой точки P две инвариантные прямые:

λ j X j =1 ; μ j X j =1 (6)

не инцидентные точке Р . Из условия rang f=2 и уравнения (2) вытекает, что прямые (6) не параллельны. Условия (*) показывают, что величины j j } являются компонентами матрицы ,обратной к матрице, составленной из координат основных ковекторов. Таким образом , величины j j } охватываются объектом Г 1 .

Из (*) получаем:

j =-λ k W k j -1\4(λ j j t W t kt λ k λ t W t kt W t k μ j

j =-μ k W k j kt μ k λ j W t kt μ k μ j W t +1\4λ t j j )W t

Таким образом , система величин и образуют геометрические объекты, охваченные объектом Г 1 . Будем называть их основными векторами 1-го порядка.





Предположение 1.Конец вектора v 1 j e j (вектора v 2 j e j ) лежит на прямой (6) . Доказательство вытекает из формул (*),(2) . Прямые, параллельные прямым (6) , инцидентные точке Р , определяются соответственно уравнениями:

λ j X j =0 , μ j X j = 0 (7).

Предположение 2. Основные векторы j } и j } параллельны прямым (6) соответственно. Доказательство вытекает из формул (*) и (7) . Взаимное расположение рассмотренных векторов и прямых представлено на рисунке:

λ j X j =1




V 2

V 1 μ j X j =1



Система величин ρ j j j образует ковектор: j k W j k +(μ jk jk )W k .

Определяемая им прямая ρ j X j =0 (8) проходит через точку Р и точку пересечения прямых (6) .



Пусть W -однородное подмногообразие в R(p 1 ,p 2 ) содержащее элементы 1 2 ) определяемое условием: 1 * 2 * )∈W↔p 1 * p 2 * =p 1 p 2 .

Теорема 1.Прямая (8) является касательной в точке Р к прообразу f -1 (W) многообразия W при отображении f .

Доказательство:

] (p 1 * ,p 2 * )∈W и p 1 * =p 1 +dp 1 +1\2d 2 p 1 +... ,

p 2 * =p 2 +dp 2 +1\2d 2 p 2 +... .



Тогда в репере Г: p 1 * p 2 * =e p 1 p 2 , где e=1+2W+... является относительной длиной отрезка р 1 * р 2 * по отношению к р 1 р 2 . Таким образом, 1 * р 1 * )∈W↔W=0 .

Из (2) получим: W=ρ 1 W j

Следовательно, 1 * р 2 * )∈W равносильно ρ j W j =0 (9)

Из (8) и (9) вытекает доказательство утверждения.



При фиксации элемента 1 2 )∈R(p 1 p 2 ) определяется функция h : (p 1 * p 2 * )∈h(p 1 p 2 )→e∈R , так, что р 1 * р 2 * =е р 1 р 2

В дальнейшем эту функцию будем называть относительной длиной. Т.о., линия f -1 (W) является линией уровня функции h . Заметим, что (9) является дифференциальным уравнением линии f -1 (W) .

]W 1 ,W 2 - одномерные многообразия в R(p 1 p 2 ) , содержащие элемент 1 р 2 ) и определяемые соответственно уравнениями:

(p 1 * ,p 2 * )єW 1 ↔p 2 * =p 2 .

(p 1 * ,p 2 * )єW 2 ↔p 1 * =p 1 .

Следующая теорема доказывается аналогично теореме 1.

Теорема 2. Прямая (7) является касательной в точке P к прообразу многообразия W 2 (многообразия W 1 ) при отображении f .

Дифференциальные уравнения линии f -1 (W 1 ) и f -1 (W 2 ) имеют соответственно вид:

λ j W j =0

μ j W j =0 .

Пусть W 0 - одномерное подмногообразие в R(p 1 p 2 ) , содержащее 1 р 2 ) и определяемое условием: (p 1 * p 2 * )єW 0 ↔Q*=Q ,где Q* – середина отрезка р 1 * р 2 * . Следующее утверждение доказывается аналогично теореме 1.


Предложение 3. Прямая j j )X -j =0 (10) является касательной в точке Р к прообразу f -1 (W 0 ) многообразия W 0 при отображении f . Дифференциальное уравнение линии f -1 (W 0 ) имеет вид: j j )W j =0 .

Теорема 3.Прямые, касательные в точке Р к многообразиям f -1 (W 1 ), f -1 (W 2 ) , f -1 (W), f -1 (W 0 ) составляют гармоническую четверку.

Доказательство вытекает из (7),(8),(10).

§5. Точечные отображения, индуцируемые отображением f.

Рассмотрим отображения:

П 1 : (р 1 2 )∊R(p 1 ,p 2 )→p 1 ∊A 1 (5.1)

П 2 : (р 1 2 )∊R(p 1 ,p 2 )→p 2 ∊A 1 (5.2)

Отображение f: A 2 →R(p 1 ,p 2 ) порождает точечные отображения:

φ 1 1 ∘f: A 2 →A 1 (5.3)

φ 2 2 ∘f: A 2 →A 1 (5.4)

В репере нулевого порядка дифференциальные уравнения отображений φ 1 и φ 2 меют соответственно вид (2.5 а) и (2.5 б) . Подобъекты Г 1,2 ={ λ j jk } и Г 2,2 = j jk } объекта Г 2 являются фундаментальными объектами второго порядка отображений φ 1 и φ 2 .

В работе <4> доказано, что разложение в ряд Тейлора отображений имеет соответственно вид:

x=1+λ j X j +1/2λ jk X j X k +1/4λ y ρ k X j X k +<3>, (5.5)

y=-1+μ j X j +1/2μ jk X j X k +1/4μ y ρ k X j X k +<3>, (5.6)

Введем системы величин:

Λ jk jk +1/4(λ j ρ k k ρ j ),

Μ jk jk +1/4(μ j ρ k k ρ j )

Тогда формулы (5.5) и (5.6) примут соответственно вид:

x=1+λ j X j +1/2Λ jk X j X k +<3> (5.7)

y=-1+μ j X j +1/2Μ jk X j X k +<3> (5.8)

В <4> доказано, что существует репер плоскости А 2 , в котором выполняется:

λ 1 λ 2 1 0

=

μ 1 μ 2 0 1

Этот репер является каноническим.

Таким образом, в каноническом репере Якобиева матрица отображения f является единичной матрицей.

Формулы (5.7) и (5.8) в каноническом репере примут вид:

x=1+X 1 +1/2Λ jk X j X k +<3> (5.9),

y=-1+X 2 +1/2Μ jk X j X k +<3> (5.10).

§6. Инвариантная псевдориманова метрика.

Рассмотрим систему величин:

G jk =1/2(λ j μ k k μ j )

Из (3.1) получим:

dG jk =1/2(dλ j μ k j μ k +dλ k μ j k j )=1/2(μ k λ t W j t +1/4λ j μ k μ t W t -1\4μ k μ t λ t W t k λ jt W t j μ t W k t +

+1/4λ j λ k μ t W t -1/4μ j λ k μ t W t -1/4μ j λ t μ k W t j λ kt W t k μ t W j t +1/4λ k λ j μ t W t -1/4λ k λ t μ j W t +

k μ jt W t ),

dG jk =1/2(μ k λ t + λ k μ t )W j t +1/2(λ j μ t t μ j )W k t +G jkt W t ,

где G jkt =1/2(μ k λ jt y μ kt j λ kt k μ jt -1/2μ j μ k λ t +1/2λ j λ k μ t -1/4λ j μ k λ t +1/4λ j μ k μ t +1/4μ j λ k μ t -

-1/4μ j λ k λ t ) (6.3).

Таким образом, система величин {G jk } образует двухвалентный тензор. Он задает в А 2 инвариантную метрику G :

dS 2 =G jk W j W k (6.4)

Из (6.1) и (2.5) вытекает, что метрика (6.4) соответствует при отображении f метрике dS 2 2 -W 2 (6.5) в R(p 1 ,p 2 ).

Из (6.5) вытекает, что метрика G является псевдоримановой метрикой.

Асимптотические направления определяются уравнением G jk W j W k =0 или

λ j W j μ k W k =0 (6.6)

Предложение : Основные векторы V 1 и V 2 определяют асимптотические направления метрики G.

Б. А. Розенфельдом изучалась инвариантная метрика в пространстве нуль-пар. На проективной прямой нуль-парой является пара точек. Для двух пар точек (x,U) и (y,U ) расстояние между ними определяется как двойное отношение W=(xy,UU )

Теорема : Метрика dS 2 2 -W 2 совпадает с метрикой Розенфельда .

Доказательство: В репере r имеем для координат точек p 1 ,p 2 ,p 1 +dp 1 ,p 2 +dp 2

Соответственно: 1,-1,1+θ+W,-1+θ-W .

Подставляя их в формулу (4.2) на стр. 344 (§7), получаем

dS 2 2 -W 2

Следствие : Метрика G сохраняется при расширении фундаментальной группы ее проективных преобразований.

В работе <3> был построен охват объекта

Г l jk =1/2G tl (G tkj +G jtk -G jkt )

псевдоримановой связности G фундаментальным объектом Г 2 = j j jk jk }.

Он определяется формулой: Г l jk j Λ jk l Μ jk l λ t λ k l μ t μ k .

§7. Инвариантная риманова метрика.

Рассмотрим систему величин:

g jk j λ k j μ k (7.1)

Из (3.1) получаем:

dg jk =dλ j λ k +dλ k λ j +dμ j μ k +dμ k μ j k λ t W j t +1/4λ k λ j μ t W t -1/4λ j λ t μ j W t k λ jt W t j λ t W k t +

+1/4λ j λ k μ t W t -1/4λ j λ t μ k W t j λ kt W t k μ t W j t +1/4μ k λ j μ t W t -1/4μ k λ t μ j W t k μ jt W t +

j μ t W k t +1/4μ j λ k μ t W t -1/4μ j λ t μ k W t j μ kt W t .

dg jk =(λ k λ t k μ t )W j t +(λ j λ t j μ t )W k t +g jkt W t , (7.2)

где g jkt =1/2λ j λ k μ t -1/2μ j μ k λ t -1/4λ k λ t μ j -1/4λ j λ t μ k +1/4λ j μ k μ t +1/4μ j λ k μ t k λ jt j λ kt +

k μ jt j μ kt (7.3)

Таким образом, система величин {g jk } образует двухвалентный тензор. Он задает в А 2 инвариантную метрику g :

dS 2 =g jk W j W k (6 .4)

Из (7.1) и (2.5) вытекает, что метрика (6 .4) соответствует при отображении f метрике:

dS 2 =2(θ 2 +W 2 ) (6 .5)

в R(p 1 ,p 2 )

Из (6 .5) вытекает, что метрика g является римановой метрикой.

Единичная окружность, построенная для точки Р определяется уравнением:

GjkXjXk=1 (6 .6)

или j X j ) 2 +(μ j X j ) 2 =1 (6 .7)

Из (6 .7) вытекает:

Предложение 7.1: Единичная окружность метрики g с центром в точке Р является эллипсом, касающимся в концах основных векторов прямых, параллельных этим векторам.

Заметим, что сформулированное здесь свойство единичной окружности полностью определяет эту окружность, а следовательно и метрику g .

 


V 1



V 2 рис.3.

 

Пусть g jk j λ k j μ k (6.8)

В силу (2.7) имеем:

g jt g tk =(λ j λ t j μ t )(λ t λ k t μ k )=λ j λ k j μ k k j (6 .9)

Таким образом, тензор g jk является тензором взаимных к g jk . Как известно, метрика ставит в соответствие каждому векторному полю поле ковектора и наоборот.

Предложение 7.2: Поле основного вектора j } (вектора j } ) соответствует в метрике g полю основного ковектора j } (ковектора j } ).

Доказательство: Основные векторы ортогональны друг другу и имеют единичную длину в метрике g .

Доказательство:

λ j λ k g jk j λ k λ j λ k j λ k μ j μ k =1 ,

μ j μ k g jk j μ k λ j λ k j μ k μ j μ k =1 ,

λ j μ k g jk j μ k λ j λ k j μ k μ j μ k =0 .

Таким образом, f задает на А 2 структуру риманова пространства (A 2 ,g f ).

В работе <2> был построен охват объекта

γ jk l =1/2g tl (g tkj +g jtk -g jkt )

римановой связности γ фундаментальным объектом

Г 2 = j j jk jk }

Он определяется формулой:

γ jk l l Λ jk l M jk +G jk l l )+1/2(λ l l )(μ j μ k j λ k ) ,

где G jk =1/2(λ j μ k k μ j ).

Форум
Открылся форум WorkLib.ru