Рефераты по точным наукам




Поиск документов на сайте

Плоская задача теории упругости

Из тела находящегося в плоском напряженном состоянии, выделена пластина, толщина которой 1 см, размеры в плане 20х20 см.

Схема закрепления пластины.

Задаваясь функцией напряжений, общий вид которой

Ф (х,у)=а 1 х 3 у+а 2 х 3 3 х 2 у+а 4 х 2 5 ху+а 6 у 2 7 ху 2 8 у 3 9 ху 3

Принять два коэффициента функции согласно таблиц 1 и 2, остальные шесть коэффициентов принять равными нулю. В этих же таблицах даны значения модуля упругости Е и коэффициента Пуассона для материала пластины.

Найти общие выражения для напряжений s х , s у , t ху (объемные силы не учитывать) и построить эпюры этих напряжений для контура пластины.

Определить выражения для перемещений U и V. Показать графически(на миллиметровке) перемещение пластины в результате деформирования, определив компоненты перемещений U и V в девяти точках, указанных на схеме. Для наглядности изображения для перемещений выбрать более крупный масштаб, чем масштаб длин. Значение U и V свести в таблицу.

Расчет.

Дано : а 3 =1/3, а 4 = 1

Е=0,69*10 6 кг/см 2

n =0,33

Решение :

1.Проверим, удовлетворяет ли функция напряжений бигармоническому уравнению.

Ф(х,у)=

Поскольку производные

-бигармоническое уравнение удовлетворяется.

2.Определяем компоненты по формулам Эри, принимая объемные силы равными нулю.

s х =

s у =

t ху =

3.Строим эпюры напряжений для контура пластины согласно полученным аналитическим напряжениям.

4.Проверяем равновесие пластины

Уравненения равновесия:

S х=0 -Т 5 6 =0 > 0=0

S y=0 Т 4 3 2 1 -N 2 +N 1 =0 > 0=0

S M=0 M (T 4 T 3 )=-M(T 2 T 1 ) > 0=0

удовлетворяется, т.е. пластина находится в равновесии.

5.Для точки А с координатами (5,-5) найти величины главных напряжений и положение главных осей для точки А.

В этой точке напряжения в основных площадках. s х =0, s у =-1,33, t ху =3,33,

Найдем главное напряжение по формуле:

=-0,665 ± 3,396 кгс/см 2

s max = s I =2,731 МПа

s min = s II = -4,061 МПа

Находим направление главных осей.

a I =39,36 o

a II =-50,64 o

6.Определяем компоненты деформации

7.Находим компоненты перемещений

Интегрируем полученные выражения

j (у), y (х) –некоторые функции интегрирования

или

После интегрирования получим

где с 1 и с 2 – постоянные интегрирования

С учетом получения выражений для j (у) и y (х) компоненты перемещений имеет вид

Постоянные с 1 , с 2 , и с определяем из условий закрепления пластины:

1) v =0 или

2) v =0 или

3) u =0 или

Окончательные выражения для функций перемещений u и v

Покажем деформированное состояние пластины определив для этого перемещение в 9-ти точках.

 

1

2

3

4

5

6

7

8

9

координаты

Х(см)

-10

0

10

10

10

0

-10

-10

0

У(см)

10

10

10

0

-10

-10

-10

0

0

V*10 -4

3,8

0,77

0,58

-0,19

0

0,19

3,2

3,1

0

U*10 -4

-3,1

-3,5

-3,9

-1,9

0

-0,23

-0,45

-1,8

-1,9

Масштаб

    • длин: в 1см – 2см
    • перемещений: в 1см - 1*10 -4 см

Форум
Открылся форум WorkLib.ru